5.3. Отношения на множествах

Основы реляционной алгебры. С точки зрения внешнего представления (абстрагирования на логи­ческом уровне) объектов реального мира модель данных — это ос­новные понятия и способы, используемые при анализе и описании предметной области.

Среди многих попыток представить обработку данных на фор­мальном абстрактном уровне реляционная модель, предложенная Э. Ф. Коддом, стала по существу первой работоспособной моделью данных, поскольку помимо средств описания объектов имела эф­фективный инструментарий преобразований этих описаний — опе­рации реляционной алгебры.

Реляционная алгебра в том виде, в котором она была определе­на Э. Ф. Коддом, состоит из двух групп по четыре оператора.

1.   Традиционные операции над множествами (но модифициро­ванные с учетом того, что их операндами являются отношения, а не произвольные множества): объединение, пересечение, разность и декартово произведение.

2. Специальные реляционные операции: выборка, проекция, со­единение, деление.

Рассмотрим подробнее операции реляционной алгебры.

 Объединение возвращает отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат либо одному из двух заданных отношений, либо им обоим (рис. 5.6).

Пересечение возвращает отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат одновременно двум заданным отношениям (рис.5.7).

Рис. 5.6. Объединение.

Разность возвращает отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат первому из двух заданных отношений и не при­надлежат второму (рис.5.8).

Произведение возвращает отношение, содержащее все возмож­ные кортежи, которые являются сочетанием двух кортежей, принад­лежащих соответственно двум заданным отношениям (рис.5.9). 

Рис. 5.7. Пересечение.

Рис. 5.8. Разность.

Выборка возвращает отношение, содержащие все кортежи из за­данного отношения, которые удовлетворяют указанным условиям (рис.5.10).

Проекция возвращает отношение, содержащее все кортежи (под-кортежи) заданного отношения, которые остались в этом отноше­нии после исключения из него некоторых атрибутов (рис.5.11). 

Соединение возвращает отношение, содержащее все возможные кортежи, которые представляют собой комбинацию атрибутов двух Кортежей, принад-лежащих двум заданным, при условии, что в этих двyx комбинированных кортежах присутствуют одинаковые значе­ния в одном или нескольких общих для исходных отношений атри­бутах (причем эти общие значения в резуль-тирующем кортеже появ­ляются один раз, а не дважды рис.5.12).

Рис. 5.9. Произведение.

Рис. 5.10. Выборка.

Деление для заданных двух унарных отношений и одного бинар­ного возвращает отношение, содержащее все кортежи из первого унарного отношения, которые содержатся также в бинарном отно­шении и соответствуют всем кортежам во втором унарном отноше­нии (рис.5.13).

Результат выполнения любой операции над отношением также является отношением, поэтому результат одной операции может ис­пользоваться в качестве исходных данных для другой. Другими сло­вами, можно записывать вложенные реляционные выражения, т.е. выражения, в которых операторы сами представлены реляционны­ми выражениями, причем произвольной сложности. Эта особен­ность называется свойством реляционной замкнутости.

Рис. 5.11. Проекция.

Рис. 5.12. Соединение.

Рис. 5.13. Деление.

Важно, что отношение имеет две части – заголовок и тело. Нестрого говоря, заголовок – это атрибуты, а тело – это кортежи. Заголовок для базового отношения, т.е. значе­ние базовой переменной-отношения, очевидно, вполне конкретен и известен системе, поскольку он задается как часть определения со­ответствующей базовой переменной-отношения. Результат обяза­тельно должен иметь вполне определенный тип отношения, поэто­му, если рассматривать свойство реляционной замкнутости более строго, каждая реляционная операция должна быть определена та­ким образом, чтобы выдавать результат с надлежащим типом отно­шения (в частности, с соответствующим набором имен атрибутов или заголовком).

Реляционная алгебра имеет набор правил вывода типов (отно­шений), позволяющих вывести тип (отношение) на выходе произ­вольной реляционной операции, зная типы (отношения) на входе этой операции. Задав такие правила для всех операций, можно га­рантировать, что для реляционного выражения любой сложности будет вычисляться результат, имеющий вполне определен-ный тип (отношение) и, в частности, известный набор имен атрибутов.

Рассмотренные восемь операторов Кодда не являются мини­мальным набором, так как не все они примитивны, т.е. часть из них можно определить через другие операторы. Действительно, опе­рации соединения, пересечения и деления можно определить через остальные пять. Эти пять операций (выборка, проекция, произведе­ние, объединение и разность) можно рассматривать как примитивные в том смысле, что ни одна из них не выражается через другие. Они образуют минимальный набор, но тем не менее, не обязатель­но единственно возможный. Кроме того, остальные три операции (в особенности операция соединения) на практике используются на­столько часто, что, несмотря на то, что они не являются примитив­ными, имеет смысл обеспечить их непосредственную поддержку.

Предшествующее рассмотрение алгебры представлено в контек­сте только операций выборки данных. Однако, как отмечается в клас­сических введениях к реляционной алгебре, ее основная цель — обес­печить запись реляционных выражений, позволяющих определять:

• области выборки, т.е. тех данных, которые должны быть дос­тавлены в результате выполнения операции выборки;
• области обновления,  т.е. данных,  которые должны  быть вставлены, изменены или удалены в результате выполнения операции обновления;
• правила поддержки целостности данных, т.е. некоторых осо­бых требований, которым должна удовлетворять база данных;
• производные переменные-отношения, т.е. те данные, кото­рые должны быть включены в представления базы данных;
• требования устойчивости, т.е. данные, которые должны быть включены в контролируемую область для некоторых операций управления параллельным доступом к информации;
• ограничения защиты, т.е. данные, для которых осуществляет­ся тот или иной тип контроля доступа.

В целом выражения реляционной алгебры служат для символи­ческого высокоуровневого представления намерений пользователя (например, в отношении некоторого определенного запроса). Имен­но потому, что подобные выражения являются символическими и высокоуровневыми, ими можно манипулировать в соответствии с различными высокоуровневыми правилами преобразования, в том числе и для оптимизации процедур выполнения запросов на данные.